3.187 \(\int (a+b \text{sech}^2(x))^{3/2} \tanh ^3(x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=76 \[ a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )+\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b}-\frac{1}{3} \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}-a \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)} \]

[Out]

a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - a*Sqrt[a + b*Sech[x]^2] - (a + b*Sech[x]^2)^(3/2)/3 + (a + b*
Sech[x]^2)^(5/2)/(5*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.127669, antiderivative size = 76, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.353, Rules used = {4139, 446, 80, 50, 63, 208} \[ a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )+\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b}-\frac{1}{3} \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}-a \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)*Tanh[x]^3,x]

[Out]

a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Sech[x]^2]/Sqrt[a]] - a*Sqrt[a + b*Sech[x]^2] - (a + b*Sech[x]^2)^(3/2)/3 + (a + b*
Sech[x]^2)^(5/2)/(5*b)

Rule 4139

Int[((a_) + (b_.)*((c_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With
[{ff = FreeFactors[Sec[e + f*x], x]}, Dist[1/f, Subst[Int[((-1 + ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*(c*ff*x)^n)^p)/x
, x], x, Sec[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, e, f, n, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && (GtQ[m, 0] || EqQ[
n, 2] || EqQ[n, 4] || IGtQ[p, 0] || IntegersQ[2*n, p])

Rule 446

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 80

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(b*(c + d*x)
^(n + 1)*(e + f*x)^(p + 1))/(d*f*(n + p + 2)), x] + Dist[(a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)))/(
d*f*(n + p + 2)), Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && NeQ[n + p + 2,
0]

Rule 50

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n)/(b*
(m + n + 1)), x] + Dist[(n*(b*c - a*d))/(b*(m + n + 1)), Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^(n - 1), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && GtQ[n, 0] && NeQ[m + n + 1, 0] &&  !(IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (G
tQ[m, 0] && LtQ[m - n, 0]))) &&  !ILtQ[m + n + 2, 0] && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2} \tanh ^3(x) \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (-1+x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{3/2}}{x} \, dx,x,\text{sech}(x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(-1+x) (a+b x)^{3/2}}{x} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )\\ &=\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b}-\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(a+b x)^{3/2}}{x} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )\\ &=-\frac{1}{3} \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}+\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b}-\frac{1}{2} a \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x}}{x} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )\\ &=-a \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}-\frac{1}{3} \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}+\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b}-\frac{1}{2} a^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\text{sech}^2(x)\right )\\ &=-a \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}-\frac{1}{3} \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}+\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b}-\frac{a^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}\right )}{b}\\ &=a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )-a \sqrt{a+b \text{sech}^2(x)}-\frac{1}{3} \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2}+\frac{\left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{5/2}}{5 b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.971459, size = 129, normalized size = 1.7 \[ \cosh ^3(x) \left (a+b \text{sech}^2(x)\right )^{3/2} \left (\frac{2 \sqrt{2} a^{3/2} \log \left (\sqrt{a \cosh (2 x)+a+2 b}+\sqrt{2} \sqrt{a} \cosh (x)\right )}{(a \cosh (2 x)+a+2 b)^{3/2}}+\frac{2 \left (b (6 a-5 b) \text{sech}^3(x)+a (3 a-20 b) \text{sech}(x)+3 b^2 \text{sech}^5(x)\right )}{15 b (a \cosh (2 x)+a+2 b)}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)*Tanh[x]^3,x]

[Out]

Cosh[x]^3*(a + b*Sech[x]^2)^(3/2)*((2*Sqrt[2]*a^(3/2)*Log[Sqrt[2]*Sqrt[a]*Cosh[x] + Sqrt[a + 2*b + a*Cosh[2*x]
]])/(a + 2*b + a*Cosh[2*x])^(3/2) + (2*(a*(3*a - 20*b)*Sech[x] + (6*a - 5*b)*b*Sech[x]^3 + 3*b^2*Sech[x]^5))/(
15*b*(a + 2*b + a*Cosh[2*x])))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.095, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( a+b \left ({\rm sech} \left (x\right ) \right ) ^{2} \right ) ^{{\frac{3}{2}}} \left ( \tanh \left ( x \right ) \right ) ^{3}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*sech(x)^2)^(3/2)*tanh(x)^3,x)

[Out]

int((a+b*sech(x)^2)^(3/2)*tanh(x)^3,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \tanh \left (x\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)^2)^(3/2)*tanh(x)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sech(x)^2 + a)^(3/2)*tanh(x)^3, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 6.0479, size = 12290, normalized size = 161.71 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)^2)^(3/2)*tanh(x)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/60*(15*(a*b*cosh(x)^10 + 10*a*b*cosh(x)*sinh(x)^9 + a*b*sinh(x)^10 + 5*a*b*cosh(x)^8 + 5*(9*a*b*cosh(x)^2 +
a*b)*sinh(x)^8 + 10*a*b*cosh(x)^6 + 40*(3*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*(21*a*b*cosh(x)^4 + 14*
a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^6 + 10*a*b*cosh(x)^4 + 4*(63*a*b*cosh(x)^5 + 70*a*b*cosh(x)^3 + 15*a*b*cosh(x))*s
inh(x)^5 + 10*(21*a*b*cosh(x)^6 + 35*a*b*cosh(x)^4 + 15*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^4 + 5*a*b*cosh(x)^2 + 40*
(3*a*b*cosh(x)^7 + 7*a*b*cosh(x)^5 + 5*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5*(9*a*b*cosh(x)^8 + 28*a*b*co
sh(x)^6 + 30*a*b*cosh(x)^4 + 12*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^2 + a*b + 10*(a*b*cosh(x)^9 + 4*a*b*cosh(x)^7 + 6
*a*b*cosh(x)^5 + 4*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(((a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a
^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^8 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b
^3)*cosh(x)^6 + 2*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3 + 14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(
a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^3 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b
+ 9*a*b^2)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2 + 30*(2*a^3 + 5*a^2*
b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^5 + 10*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*
b^2 + b^3)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 2*(2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x)^2 +
2*(14*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^6 + 15*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 2*a^3 + 3*a^2*b +
3*(6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 + 6*(a^2 + 2*a*b
+ b^2)*cosh(x)*sinh(x)^5 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^6 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 3*(5*(a^2 + 2*a*b
+ b^2)*cosh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*
cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x)^2 + (15*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 18*(a^2 + 2*a*b + b^2)*co
sh(x)^2 + 3*a^2 + 4*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^5 + 6*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^
3 + (3*a^2 + 4*a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x
)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + 2*a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^7 + 3*(2*a^3 + 5*a^2*b + 4*a*b^2 + b^3)*cosh(x)
^5 + (6*a^3 + 14*a^2*b + 9*a*b^2)*cosh(x)^3 + (2*a^3 + 3*a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sin
h(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x
)^6)) + 15*(a*b*cosh(x)^10 + 10*a*b*cosh(x)*sinh(x)^9 + a*b*sinh(x)^10 + 5*a*b*cosh(x)^8 + 5*(9*a*b*cosh(x)^2
+ a*b)*sinh(x)^8 + 10*a*b*cosh(x)^6 + 40*(3*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*(21*a*b*cosh(x)^4 + 14
*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^6 + 10*a*b*cosh(x)^4 + 4*(63*a*b*cosh(x)^5 + 70*a*b*cosh(x)^3 + 15*a*b*cosh(x))*
sinh(x)^5 + 10*(21*a*b*cosh(x)^6 + 35*a*b*cosh(x)^4 + 15*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^4 + 5*a*b*cosh(x)^2 + 40
*(3*a*b*cosh(x)^7 + 7*a*b*cosh(x)^5 + 5*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5*(9*a*b*cosh(x)^8 + 28*a*b*c
osh(x)^6 + 30*a*b*cosh(x)^4 + 12*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^2 + a*b + 10*(a*b*cosh(x)^9 + 4*a*b*cosh(x)^7 +
6*a*b*cosh(x)^5 + 4*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(-(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 +
a*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(
x)^2 - 1)*sqrt(a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*
(a*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + a)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*sqrt(2)*((3*a^2 - 20*a
*b)*cosh(x)^8 + 8*(3*a^2 - 20*a*b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (3*a^2 - 20*a*b)*sinh(x)^8 + 4*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)
*cosh(x)^6 + 4*(7*(3*a^2 - 20*a*b)*cosh(x)^2 + 3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(3*a^2 - 20*a*b)*cosh(
x)^3 + 3*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(9*a^2 - 36*a*b + 4*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(3*a^2 - 2
0*a*b)*cosh(x)^4 + 30*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + 9*a^2 - 36*a*b + 4*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(3*a^2 - 2
0*a*b)*cosh(x)^5 + 10*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^3 + (9*a^2 - 36*a*b + 4*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(3*
a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(3*a^2 - 20*a*b)*cosh(x)^6 + 15*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^4 + 3*
(9*a^2 - 36*a*b + 4*b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*sinh(x)^2 + 3*a^2 - 20*a*b + 8*((3*a^2 - 20*a*b)*
cosh(x)^7 + 3*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^5 + (9*a^2 - 36*a*b + 4*b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 - 14*a*b - 5*b^
2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/
(b*cosh(x)^10 + 10*b*cosh(x)*sinh(x)^9 + b*sinh(x)^10 + 5*b*cosh(x)^8 + 5*(9*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^8 + 40*(
3*b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*b*cosh(x)^6 + 10*(21*b*cosh(x)^4 + 14*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^6 + 4
*(63*b*cosh(x)^5 + 70*b*cosh(x)^3 + 15*b*cosh(x))*sinh(x)^5 + 10*b*cosh(x)^4 + 10*(21*b*cosh(x)^6 + 35*b*cosh(
x)^4 + 15*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^4 + 40*(3*b*cosh(x)^7 + 7*b*cosh(x)^5 + 5*b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x)^
3 + 5*b*cosh(x)^2 + 5*(9*b*cosh(x)^8 + 28*b*cosh(x)^6 + 30*b*cosh(x)^4 + 12*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + 10*(b
*cosh(x)^9 + 4*b*cosh(x)^7 + 6*b*cosh(x)^5 + 4*b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b), -1/30*(15*(a*b*cosh(x)^1
0 + 10*a*b*cosh(x)*sinh(x)^9 + a*b*sinh(x)^10 + 5*a*b*cosh(x)^8 + 5*(9*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^8 + 10*a*b
*cosh(x)^6 + 40*(3*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*(21*a*b*cosh(x)^4 + 14*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sin
h(x)^6 + 10*a*b*cosh(x)^4 + 4*(63*a*b*cosh(x)^5 + 70*a*b*cosh(x)^3 + 15*a*b*cosh(x))*sinh(x)^5 + 10*(21*a*b*co
sh(x)^6 + 35*a*b*cosh(x)^4 + 15*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^4 + 5*a*b*cosh(x)^2 + 40*(3*a*b*cosh(x)^7 + 7*a*b
*cosh(x)^5 + 5*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5*(9*a*b*cosh(x)^8 + 28*a*b*cosh(x)^6 + 30*a*b*cosh(x)
^4 + 12*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^2 + a*b + 10*(a*b*cosh(x)^9 + 4*a*b*cosh(x)^7 + 6*a*b*cosh(x)^5 + 4*a*b*c
osh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^2 + 2*(a + b)*cosh(x)*sinh(x) + (a +
b)*sinh(x)^2 + a)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x
)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 + (2*a^2 + 3*a*b)*cosh(
x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 + 2*a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 + (2*a^2 + 3*a*b
)*cosh(x))*sinh(x))) + 15*(a*b*cosh(x)^10 + 10*a*b*cosh(x)*sinh(x)^9 + a*b*sinh(x)^10 + 5*a*b*cosh(x)^8 + 5*(9
*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^8 + 10*a*b*cosh(x)^6 + 40*(3*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*(21*a*b
*cosh(x)^4 + 14*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^6 + 10*a*b*cosh(x)^4 + 4*(63*a*b*cosh(x)^5 + 70*a*b*cosh(x)^3 + 1
5*a*b*cosh(x))*sinh(x)^5 + 10*(21*a*b*cosh(x)^6 + 35*a*b*cosh(x)^4 + 15*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^4 + 5*a*b
*cosh(x)^2 + 40*(3*a*b*cosh(x)^7 + 7*a*b*cosh(x)^5 + 5*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5*(9*a*b*cosh(
x)^8 + 28*a*b*cosh(x)^6 + 30*a*b*cosh(x)^4 + 12*a*b*cosh(x)^2 + a*b)*sinh(x)^2 + a*b + 10*(a*b*cosh(x)^9 + 4*a
*b*cosh(x)^7 + 6*a*b*cosh(x)^5 + 4*a*b*cosh(x)^3 + a*b*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 +
2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(-a)*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*
sinh(x) + sinh(x)^2))/(a*cosh(x)^4 + 4*a*cosh(x)*sinh(x)^3 + a*sinh(x)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(x)^2 + 2*(3*a*cosh
(x)^2 + a + 2*b)*sinh(x)^2 + 4*(a*cosh(x)^3 + (a + 2*b)*cosh(x))*sinh(x) + a)) - 2*sqrt(2)*((3*a^2 - 20*a*b)*c
osh(x)^8 + 8*(3*a^2 - 20*a*b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (3*a^2 - 20*a*b)*sinh(x)^8 + 4*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh
(x)^6 + 4*(7*(3*a^2 - 20*a*b)*cosh(x)^2 + 3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(3*a^2 - 20*a*b)*cosh(x)^3
+ 3*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(9*a^2 - 36*a*b + 4*b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(3*a^2 - 20*a*b
)*cosh(x)^4 + 30*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + 9*a^2 - 36*a*b + 4*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(3*a^2 - 20*a*b
)*cosh(x)^5 + 10*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^3 + (9*a^2 - 36*a*b + 4*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3 + 4*(3*a^2 -
14*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(3*a^2 - 20*a*b)*cosh(x)^6 + 15*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^4 + 3*(9*a^
2 - 36*a*b + 4*b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*sinh(x)^2 + 3*a^2 - 20*a*b + 8*((3*a^2 - 20*a*b)*cosh(
x)^7 + 3*(3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*cosh(x)^5 + (9*a^2 - 36*a*b + 4*b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 - 14*a*b - 5*b^2)*co
sh(x))*sinh(x))*sqrt((a*cosh(x)^2 + a*sinh(x)^2 + a + 2*b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(b*co
sh(x)^10 + 10*b*cosh(x)*sinh(x)^9 + b*sinh(x)^10 + 5*b*cosh(x)^8 + 5*(9*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^8 + 40*(3*b*c
osh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x)^7 + 10*b*cosh(x)^6 + 10*(21*b*cosh(x)^4 + 14*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^6 + 4*(63*
b*cosh(x)^5 + 70*b*cosh(x)^3 + 15*b*cosh(x))*sinh(x)^5 + 10*b*cosh(x)^4 + 10*(21*b*cosh(x)^6 + 35*b*cosh(x)^4
+ 15*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^4 + 40*(3*b*cosh(x)^7 + 7*b*cosh(x)^5 + 5*b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x)^3 + 5
*b*cosh(x)^2 + 5*(9*b*cosh(x)^8 + 28*b*cosh(x)^6 + 30*b*cosh(x)^4 + 12*b*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + 10*(b*cosh
(x)^9 + 4*b*cosh(x)^7 + 6*b*cosh(x)^5 + 4*b*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + b)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)**2)**(3/2)*tanh(x)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \operatorname{sech}\left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \tanh \left (x\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sech(x)^2)^(3/2)*tanh(x)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sech(x)^2 + a)^(3/2)*tanh(x)^3, x)